Something in Fourier Analysis

2018-04-23

“美丽有两种. 一是深刻又动人的方程. 一是你泛着倦意淡淡的笑容。”

最近喜欢上了一个女孩,借UKIM的这句很抒情的话抒情下吧。 我希望对后一种美丽,最后有可解的答案。

Wave equation

——————0——0——0——0————…————————

考虑如上十分简陋的一列质量为的小质点(即0),相邻之间的长度为,弹簧(即折线)的弹簧劲度系数为,则我们有:

由分析力学中的达朗贝尔原理,位于处质点的运动方程为:

如果我们规定,有个质点作用在长度的弹簧上,总质量为,其中链的总劲度系数为,则总体的运动方程为:

我们取,,则有

这就是著名的偏微分方程————弦振动方程。

则波动方程可表示为算子形式:

则其通解可表示为: 考虑初值条件:

代入可得达朗贝尔行波解:

分离变数法与Sturm-Liouville问题

根据伯努利分离变数法,可设

根据固有值问题我们可令:

,

将\lambda_{n}代入T满足的方程,令T解为:

根据初值与正交可确定傅里叶系数,最终我们得到傅里叶级数为:

其中

之后傅里叶将函数由推广至无穷,得到我们现在常用的傅里叶变换,下面给出现代分析中的定义:

后面还会有好多工作,不过不在今天和这篇文章里面写了,有些累喽。 今天写的内容,里面还有一些不清晰的,需要查阅一些资料。

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