Something in Fourier Analysis

2018-04-23

“美丽有两种. 一是深刻又动人的方程. 一是你泛着倦意淡淡的笑容。”

最近喜欢上了一个女孩，借UKIM的这句很抒情的话抒情下吧。 我希望对后一种美丽，最后有可解的答案。

Wave equation

——————0——0——0——0————…————————

考虑如上十分简陋的一列质量为$m$的小质点（即0），相邻之间的长度为$h$，弹簧（即折线）的弹簧劲度系数为$k$，则我们有：

$F_{Newton}=m\cdot a(t)=m\cdot \frac {\partial^2}{\partial t^2}\cdot u(x+h,t)$ $F_{Hooke}=F_{x+2h}+F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]+k[u(x,t)-u(x+h,t)]$

由分析力学中的达朗贝尔原理，位于$x+h$处质点的运动方程为：

$$m\cdot \frac {\partial^2}{\partial t^2}\cdot u(x+h,t)=k[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]$$

如果我们规定，有$N$个质点作用在$L=Nh$长度的弹簧上，总质量为$M=Nm$,其中链的总劲度系数为$K=k/N$,则总体的运动方程为:

$$\frac {\partial^2}{\partial t^2}\cdot u(x+h,t)=\frac {KL^2}{M}\cdot \frac {u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)}{h^2}$$

我们取$N\rightarrow\infty$,$h\rightarrow 0$，则有

$$\frac {\partial^2}{\partial t^2}\cdot u(x+h,t)=\frac {KL^2}{M}\cdot \frac {\partial^2 u(x,t)}{\partial x^2}$$

这就是著名的偏微分方程————弦振动方程。

令$c=\sqrt {\frac {KL^2}{M}}$

则波动方程可表示为算子形式： $[\frac {\partial}{\partial t}-c\frac {\partial}{\partial x}][\frac {\partial}{\partial t}+c\frac {\partial}{\partial x}]u=0$

则其通解可表示为： $u(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)$ 考虑初值条件:

$$\begin{cases} u(x,0)=f(x)\\ u_{t}(x,0)=g(x) \end{cases}$$

代入可得达朗贝尔行波解： $u(x,t)=\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}+\frac {1}{2c}\int_{x+ct}^{x-ct}g(s)ds$

分离变数法与Sturm-Liouville问题

$$\left\{ \begin{array}{rcl} (D.E.) & {\frac {\partial^2 u}{\partial t^2}=c^2\frac {\partial^2 u}{\partial x^2 ,}} &{0\leq x \leq L ,} &{0 \leq t}\\ (B.C.) & {u(0,t)=u(L,t)=0 , }& {0\leq t}\\ (I.C.) & {u(x,0)=f(x) ,} & {\frac {\partial u}{\partial t}(x,0)=g(x) ,} & {0 \leq x \leq L}\\ \end{array} \right.$$

根据伯努利分离变数法，可设$u(x,t)=T(t)\varphi(x)$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} T''(t)+c^2\varphi ^2T(t)=0\\ \varphi''(x)+\varphi(x)=0 ,& {\varphi(0)=\varphi(L)=0} \end{array} \right.$$

根据固有值问题我们可令：

$\lambda_{n}=(\frac {n\pi}{L})^2$,$(x)=sin\frac {n\pi x}{L}$

将\lambda_{n}代入T满足的方程，令T解为： $T_{n}(x)=a_{n}cos\frac{n\pi ct}{L}+b_{n}sin\frac{n\pi ct}{L}$

根据初值与正交可确定傅里叶系数，最终我们得到傅里叶级数为:

$$f(x)=\sum_{-\infty}^{+\infty}C_{n}e^{i\frac{n\pi x}{2}}$$

其中$c_{n}$为$c_{n}=\frac {1}{2L}\int_{-L}^{l} f(x)\cdot e^{i\frac {n\pi x}{2}}dx$

之后傅里叶将函数由$(-L,+L)$推广至无穷，得到我们现在常用的傅里叶变换，下面给出现代分析中的定义:

$$\hat{f}(\xi)=\int_{\mathbb{R}}e^{-2\pi ix\cdot\xi}f(x)dx,\xi\in\mathbb{R}$$

后面还会有好多工作，不过不在今天和这篇文章里面写了，有些累喽。 今天写的内容，里面还有一些不清晰的，需要查阅一些资料。

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