2018-04-23
“美丽有两种. 一是深刻又动人的方程. 一是你泛着倦意淡淡的笑容。”
最近喜欢上了一个女孩,借UKIM的这句很抒情的话抒情下吧。 我希望对后一种美丽,最后有可解的答案。
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考虑如上十分简陋的一列质量为的小质点(即0),相邻之间的长度为,弹簧(即折线)的弹簧劲度系数为,则我们有:
由分析力学中的达朗贝尔原理,位于处质点的运动方程为:
如果我们规定,有个质点作用在长度的弹簧上,总质量为,其中链的总劲度系数为,则总体的运动方程为:
我们取,,则有
这就是著名的偏微分方程————弦振动方程。
令
则波动方程可表示为算子形式:
则其通解可表示为: 考虑初值条件:
代入可得达朗贝尔行波解:
根据伯努利分离变数法,可设
根据固有值问题我们可令:
,
将\lambda_{n}代入T满足的方程,令T解为:
根据初值与正交可确定傅里叶系数,最终我们得到傅里叶级数为:
其中为
之后傅里叶将函数由推广至无穷,得到我们现在常用的傅里叶变换,下面给出现代分析中的定义:
后面还会有好多工作,不过不在今天和这篇文章里面写了,有些累喽。 今天写的内容,里面还有一些不清晰的,需要查阅一些资料。