对于调和级数与P-级数收敛性的证明

2018-01-01

在这里我们研究调和级数与P-级数发散与收敛的性质

我们首先对\(\frac {1}{n^p}\)进行观察,分类:

(1)对于\(p\le\)1的情况,我们只需要证明\(p=1\)的情况即可,这个条件的成立在于\(p=1\)是发散的,因为\(p=0\)或者负数的情况是平凡的,可以简单推出。

我们可以通过反证法对其进行证明:

假设\(p\le\)1的情况下级数是收敛的,并且绝对收敛于\(s\),记为:

则有:

即有:

而我们利用级数展开进行计算可知:

由此可知与之前猜想相互矛盾,所以\(S(n)\)收敛猜想不成立。

对于证明\(p>1\)时的情况,我们不能使用初等方法给出,由于时间关系,我会另外写出证明\(P-\)级数收敛的方法,而且其与黎曼\(\xi\)函数相等,一个比较深刻的结论。

2018快乐,祝自己新的一年一切顺利。

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