对于调和级数与P-级数收敛性的证明

2018-01-01

在这里我们研究调和级数与P-级数发散与收敛的性质

我们首先对\(\frac {1}{n^p}\)进行观察，分类：

$S(n) = \begin{cases} \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^p},&\text{p\(\le\)1} \\ \sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^p},&\text{p\(\gt\)1} \end{cases}$

(1)对于\(p\le\)1的情况，我们只需要证明\(p=1\)的情况即可，这个条件的成立在于\(p=1\)是发散的，因为\(p=0\)或者负数的情况是平凡的，可以简单推出。

我们可以通过反证法对其进行证明：

假设\(p\le\)1的情况下级数是收敛的，并且绝对收敛于\(s\)，记为：

$\lim\limits_{n \to \infty}S(n)=s$

则有：

$\lim\limits_{n \to \infty}S(2n)=s$

即有：

$\lim\limits_{n \to \infty}[S(2n)-S(n)]=0$

而我们利用级数展开进行计算可知：

$\begin{equation}\begin{split} S(2n)-S(n)&=[\frac {1}{1}+\frac {1}{2}+\ldots+\frac {1}{n}+\frac {1}{n+1}+\ldots+\frac {1}{n+n}]-[\frac {1}{1}+\frac {1}{2}\ldots+\frac {1}{n}]\\ &=\frac {1}{n+1}+\frac {1}{n+2}+\ldots+\frac {1}{n+n}\\ &\gt\frac {1}{n+n}+\frac {1}{n+n}+\ldots+\frac {1}{n+n}\\ &=\frac {n}{n+n}\\ &=\frac {1}{2} \end{split}\end{equation}$

由此可知与之前猜想相互矛盾，所以\(S(n)\)收敛猜想不成立。

对于证明\(p>1\)时的情况，我们不能使用初等方法给出，由于时间关系，我会另外写出证明\(P-\)级数收敛的方法，而且其与黎曼\(\xi\)函数相等，一个比较深刻的结论。

2018快乐，祝自己新的一年一切顺利。

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